Dificultad alta

 

 

Resolvamos la ecuación

    cos(2x) – cos(6x) = sen (5x) + sen (3x)

 

Tenemos los siguientes ángulos: 2x, 6x, 5x, y 3x; peroobservamos que 2x y 6x tienen la misma suma que 5x y 3x, así que es mejor transformar las sumas en producto:

Recordemos que:

cos A – cos B = - 2 sen  A + B    sen  A - B

                                        2               2

 

Y que:

sen A + sen B = 2 sen A + B   cos  A – B

                                    2                 2

 

De donde:

Cos (2x) – cos (6x) = - 2 sen  2x + 6x  sen 2x - 6x

                                               2                   2

 

Sustituyendo en la ecuación a resolver, nos queda:

 

-2 sen 8x/2 sen -4x/2  -  2 sen 8x/2  cos  2x/2

                                                                                     

Sen (4x) sen (-2x) = sen (4x) cos (x)

 

Sabemos que:  

sen(-ά) = - sen ά        

y sustituyendo:

sen(4x) sen (2x)  =  sen(4x)  cos(x)

Llevamos todo a un miembro

0 =  -sen(4x) sen(2x) + sen(4x) cos x

Sacamos factor común sen(4x)

0 = sen(4x) (- sen(2x) + cos x)

De donde uno de los factores tiene que ser cero

sen(4x) = 0  ---  4x = 0 + 2k∏  ---  x = k∏

                        4x = ∏ + 2k ∏  ---  x = ∏/4 + k∏/2

-Sen(2x) + cos x = 0

 

Aplicamos la fórmula del seno del ángulo doble,   sen 2x cos x, para reducir la nueva ecuación

-2 sen(x) cos x + cos x = 0

Sacamos factor común cos x

Cos x (-2 sen x +1) = 0

Y uno de los factores tienen que ser nulo, de donde:

Cos x = 0 -----   x = ∏/2 + 2k∏

                        X = 3∏/2 + 2k∏

-2 sen x + 1= 0  ---- sen x =  1/2 -----   x = ∏/6 + 2k∏

                                                                                                                             x  = 5∏/6 + 2k∏